Question

【题目】如图，已知是直角梯形， ， ， ， ， 平面．

（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ）若，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） ．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)当为中点时满足题意，理由如下：

取的中点为，连结．由题意结合几何关系可证得平面平面．理由面面平行的性质定理可得平面．

(Ⅱ)由题意结合勾股定理可得．理由几何关系有．据此可得平面，则．

(Ⅲ)由题意可得： ．且，理由体积相等转化顶点可得到平面的距离为．

试题解析：

（Ⅰ）当为中点时满足题意

理由如下：

取的中点为，连结．

∵， ，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

即．

∵平面，

∴平面．

∵分别是的中点，∴，

∵平面，

∴平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）由已知易得， ．

∵，

∴，即．

又∵平面， 平面，

∴．

∵，

∴平面

∵平面，

∴．

（Ⅲ）由已知得，所以．

又，则，由得，

∵，

∴到平面的距离为．