Question

1．已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n（n+2），求数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项列出方程组，求出数列首项与公差，即可求解数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．
（2）数列{$\frac{1}{b_n}$}的通项公式，然后利用裂项求和求解前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则6a₁+15d=60，a₁（a₁+20d）=（a₁+5d）²，
解得d=2，a₁=5．
∴a_n=2n+3，
S_n=$\frac{n（5+2n+3）}{2}$=n（n+4）．
（2）b_n=n（n+2）（n∈N₊）．
∴$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3n2+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列求和，裂项消项法的应用，等差数列的简单性质的应用，考查计算能力．