Question

15．已知f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同时满足：
①命题“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定为真命题；
②命题“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定为真命题．
求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 ①命题“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定为真命题，即①“?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0”为真命题；②命题“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定为真命题，即②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0”为真命题．
对m分类讨论：当m=0时，f（x）=1-8x，g（x）=0，即可判断出是否满足条件①②；
当m＜0时，g（x）＞0不恒成立，由①可知：必须f（x）＞0恒成立，但是不成立．
当m＞0时，要满足①：（i）若f（x）＞0，即△＜0，解得m．当x＜-4时，g（x）＜0，利用二次函数的单调性即可判断出是否满足②．
（ii）若g（x）＞0，则x＞0．又f（0）＞0，因此必须x＜0时，f（x）＞0恒成立．

解答 解：①命题“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定为真命题，即①“?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0”为真命题；
②命题“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定为真命题，即②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0”为真命题．
当m=0时，f（x）=1-8x，g（x）=0，不满足①②舍去；
当m＜0时，g（x）＞0不恒成立，由①可知：必须f（x）＞0恒成立，但是f（x）的图象开口向下，故不成立．
当m＞0时，要满足①：（i）若f（x）＞0，即△=4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8．
当x＜-4时，g（x）＜0，由f（x）的对称轴x=$\frac{4-m}{2m}$=$\frac{2}{m}$-$\frac{1}{2}$＞$-\frac{1}{2}$，则（-∞，-4）为f（x）的减区间，f（-4）=33+24m＞0，即②成立．
（ii）若g（x）＞0，则x＞0．又f（0）＞0，因此必须x＜0时，f（x）＞0恒成立．因此对称轴x=$\frac{4-m}{2m}$＞0，解得0＜m＜4．
综上可得：0＜m＜8．
∴实数m的取值范围是（0，8）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．