Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，s_n）（n∈N^*）在函数y=x²的图象上，数列{b_n}满足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明列数是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足对任意的成立c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题考查由数列的前n项和求数列的通项，解题时要注意验证当n=1时，是否成立，若成立写成一个表达式，若不成立则要分段写出通项．
（2）构造一个新数列，要求证明数列是一个等比数列，这种问题一般用等比数列的定义，即用后一项比前一项，若得到的结果是一个常数，得到数列是等比数列．
（3）根据上一问得到的结果，写出分式的分母的最简结果，根据数列的定义得到新数列的通项，注意是一个分段形式，用等比数列的前n项和公式得到结果．
解答：解：（1）∵点（n，s_n）在函数y=x²的图象上，
∴s_n=n²（n∈N^*）
当n=1时，a₁=s₁=1²=1?
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
a₁=1也适合，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2）
∴
∵
∴其首项为3，公比为3的等比数列
∴
（3）由（2）得b_n+2ⁿ=6ⁿ
由题意得
∴
∴
∴
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀=18+2（6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁰）=6+2（6¹+6²+6³+…+6²⁰¹⁰）
=
=（6²⁰¹¹+9）
点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．