Question

已知点M是抛物线上y²=x上的一个动点，弦MA，MB分别交x轴于C，D两点，若MC=MD且∠AMB=90°，求△AMB的重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：三角形的重心的坐标与三个顶点的坐标之间有一个固定的关系即

x= xM+xA+xB 3 y= yM+yA+yB 3

，故可以引入参数，求出三个点的坐标，利用此公式得到重心G的坐标的参数表达式，再消参数得到重心G的轨迹方程．

解答：解：设M（y₀²，y₀），∵∠AMB=90°，∴∠MCD=45°，∴k=1，∴直线MA的方程为y-y₀=x-y₀².由

y-y0=x- y 2 0 y2=x

，得A((1-y0)2，1-y0)．
同理可得B（（1+y₀）²，-（1+y₀））．
设重心G（x，y），则有

x= xM+xA+xB 3 = y 2 0 +(1-y0)2+(1+y0)2 3 = 2+3 y 2 0 3 y= yM+yA+yB 3 = y   0 +(1-y0)-(1+y0)  3 =- y   0 3

消去参数y0得y2=

1

9

x-

2

27

(x＞

2

3

)．

点评：本题考点是圆锥曲线轨迹问题，考查综合利用圆锥曲线的方程与三角形的重心坐标公式求轨迹方程的能力，解决本题的关键是掌握重心的坐标公式，由此公式的形式联想到应该引入参数求三角形三个顶点的坐标．解答综合题时找准解题的切入点对做题很关键．