Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______．

Answer 1

由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即

sin(α+β)cosα

cos(α+β)

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)

∴tan（α+β）=2tanα  （tanα≠0）
因为tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2tan2α

=

1

1 tanα +2tan α

显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=

1

1 tanα +2tan α

≤

1

2 1 tanα ×2tanα

=

1

2 2

=

2

4

当且仅当tanα=

2

2

时取等号
综上所述，tanβ的最大值是

2

4

故答案为

2

4