Question

已知向量

a

=（sinωx，-cosωx），

b

=（

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

a

．

b

+

1

2

，且函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（C）=

1

2

，且c=2

19

，△ABC的面积S=2

3

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的公式化简式子，由题意得函数的周期，进而可得ω的值；
（2）代入（1）中的解析式，结合面积易得ab=8，再由余弦定理可得关于ab的式子，共同可解a+b

解答：解：（1）由题知f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（cos2ωx+1）+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）
∵函数f（x）的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π
∴T=2π从而得2ω=

2π

T

=1，解得ω=

1

2

（2）由（1）知f（x）=sin（x-

π

6

）∴f（C）=sin（C-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜C＜π∴-

π

6

＜C-

π

6

＜

5π

6

，
∴C-

π

6

=

π

6

，从而得C=

π

3

又∵S=

1

2

absinC=

1

2

ab×

3

2

=2

3

，∴ab=8，
又由余弦定理得(2

19

)2=a2+b2-ab=（a+b）²-3ab，
∴（a+b）²=76+3ab=100，∴a+b=10．

点评：本题考查数量积的运算和两角和与差的三角函数，以及正余弦定理，属中档题．