题目内容
如图，点
为坐标原点，直线
经过抛物线
的焦点
.
（Ⅰ）若点到直线的距离为
，求直线的方程；
（Ⅱ）设点A是直线与抛物线
在第一象限的交点．点B是以点为圆心,
为半径的圆与
轴负半轴的交点．试判断直线
与抛物线的位置关系，并给出证明．
【答案】
本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点
，………………………………………1分
当直线
的斜率不存在时，即
不符合题意. ……………………………2分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
，即
…………3分
所以，
，解得：
…………5分
故直线的方程为：
，即
.…………6分
（Ⅱ）直线
与抛物线相切，证明如下：…………7分
（法一）：设
，则
.…………8分
因为
所以
.…………9分
所以直线的方程为：
，整理得:
把方程（1）代入
得：
，…………10分
，
所以直线与抛物线相切．…………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分
设，则
.…………8分
设圆的方程为：
，…………9分
当
时，得
，
因为点B在
轴负半轴，所以.…………9分
所以直线的方程为，整理得:
把方程（1）代入得：，…………10分
，
所以直线与抛物线相切．…………12分
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为坐标原点，直线
经过抛物线
的焦点
．
，求直线
在第一象限的交点．点B是以点
为半径的圆与
轴负半轴的交点．试判断直线
与抛物线