Question

△ABC的外接圆半径为1，且满足下列三个条件：
①； ②；  ③．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状； （Ⅱ）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由条件①中等号右边的第二项变形后，前两项提取，利用平面向量的减法法则计算后，得到，根据平面向量的数量积运算法则得到CA与CB垂直，从而得到∠C为直角，确定出三角形为直角三角形；
（Ⅱ）由条件②得到M为AB中点，由条件③得到C为MN中点，根据第一问得到∠C为直角，故以C为原点，CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设出A和B的坐标，利用勾股定理表示出|AB|的长，由直角三角形的外接圆半径为1，得出斜边长为2，即|AB|=2，列出关于a与b的等式，利用中点坐标公式表示出M及N的坐标，进而表示出和，利用平面向量数量积运算法则计算后，把得出的a与b的等式代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）由条件①知：
（3分）
∴．即CA⊥CB．
∴△ABC为直角三角形；（5分）

（Ⅱ）由条件②知M为AB的中点，（6分） 由条件③知C为MN的中点．（7分）
以C为原点，CA所在直线为x轴建立直角坐标系．
设A（a，0），B（0，b），又△ABC的外接圆半径为1，
则有．（8分）
∴，
∴，
∴．（12分）
点评：此题考查了三角形形状及其判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，平面向量数量积为0时两向量满足的关系，以及中点坐标公式，第二问根据∠C为直角，建立平面直角坐标系，设出A和B的坐标，根据勾股定理及直角三角形的外接圆半径列出a与b的关系式，两次利用中点坐标公式表示出M和N的坐标，进而表示出所求的两向量，利用平面向量的数量积运算法则计算，整体代入即可求出值．熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．