题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且sinAcosB=
，sinBcosA=
，△ABC的外接圆半径R=3．
（1）求角C．
（2）求
的值．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
（1）求角C．
（2）求
| a |
| b |
分析：（1）在△ABC中，由sinC=sin（A+B）可求得sinC=
，从而可求得角C；
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a2+b2-
ab=9 或 a2+b2+
ab=9，再由sinAcosB=
得a2-b2=3，从而可得
的值．
| 1 |
| 2 |
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a2+b2-
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵在△ABC中，sinAcosB=
，sinBcosA=
，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3 （8分）
∴c2=a2+b2-2abcosC
即 a2+b2-
ab=9 或 a2+b2+
ab=9（9分）
又由 sinAcosB=
，
得
•
=
∴a2-b2=3，（11分）
∴2a2±
ab-4b2=0
解得
=
．（14分）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
| 1 |
| 2 |
∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3 （8分）
∴c2=a2+b2-2abcosC
即 a2+b2-
| 3 |
| 3 |
又由 sinAcosB=
| 1 |
| 3 |
得
| a |
| 2R |
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 3 |
∴a2-b2=3，（11分）
∴2a2±
| 3 |
解得
| a |
| b |
| ||||
| 4 |
点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．
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