Question

14．设f（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）-ax+2a恰有小于1两个零点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 化简可得a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，从而令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，求导g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}}x}{2（x-2）^{2}}$•x•（x-3），从而判断函数的单调性及极值，从而解得．

解答 解：令f（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）-ax+2a=0，
即${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）=a（x-2），
可知x=2不是方程的解，
故a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，
则g′（x）=$\frac{（\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）+{e}^{\frac{1}{2}x}）（x-2）-{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）^{2}}$
=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}}x}{2（x-2）^{2}}$•x•（x-3），
故g（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，
在（2，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，
$\underset{lim}{x→-∞}$$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$=0，g（0）=$\frac{1}{2}$，g（1）=0，
故0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的根的关系应用．