Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．

(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1),；(2).

【解析】

（1）利用三角恒等变换的公式，消去参数，即可求得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）由两曲线的方程，联立方程组，根据判别式，即可求解的取值范围．

(1)由,得，

又由

所以曲线可化为，

又由,得，

即，所以所以曲线可化为.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，

并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立,得，

由，解得.

综上可求得t的取值范围是.