Question

【题目】已知函数,.

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求实数的值及在内的最小值；

（Ⅱ）当时，求证：函数存在唯一的极小值点，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知条件的导函数，以及，从而求出实数的值，利用导数求出函数在内的单调性，从而得到在内的最小值

（Ⅱ）由题可得,令，要证函数存在唯一的极小值点，即证只有唯一根，利用导数求出的单调区间与值域即可，且由零点定理可知，由，可得，代入中，利用导数求出在内的最值即可证明。

（Ⅰ）由题可得：，则，

是函数的一个极值点，

，即，解得：，经检验，当时，是函数的一个极值点；

；

当时，，令，解得：或，

当时，、的变化如下表：

所以当时，有最小值，

（Ⅱ）当时，，

令，，则，

由于恒成立，所以恒大于零，则在上单调递增，

由于，，根据零点定理，可得存在唯一的，使得，

令，解得：，，当或时，，即的单调增区间为，，当时，，即的单调减区间为，

函数存在唯一的极小值点，且，，则；

，

则，令，解得：或，

当时，，则在上单调递减，则，，所以