Question

设函数f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对于x∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对m的取值分类讨论，分为m=0和m≠0两种情况，利用二次函数的性质列出不等关系，即可求得m的取值范围；
（Ⅱ）将不等式等价f（x）＜-m+5转化为m（x²-x+1）＜6，再利用参变量分离转化为m＜

6

x2-x+1

，f（x）＜-m+5对于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（

6

x2-x+1

）_min，再求出y=

6

x2-x+1

的最小值，即可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）①当m=0时，-1＜0恒成立，∴m=0；
②当m≠0时，
∵f（x）＜0对一切实数x恒成立，
∴

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得，-4＜m＜0，
综合①②，m的取值范围为（-4，0]．
（Ⅱ）∵f（x）=mx²-mx-1，
∴f（x）＜-m+5对于x∈[-2，2]恒成立，即m（x²-x+1）＜6对于x∈[-2，2]恒成立，
∵x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＜

6

x2-x+1

对于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（

6

x2-x+1

）_min，
∵y=

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

，
∴当x=-2，（

6

x2-x+1

）_min=

6

7

，
∴m＜

6

7

．
故m的取值范围为（-∞，

6

7

）．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及函数的恒成立问题．对于恒成立问题，一般选用参变量分离，转化成求函数的最值．属于中档题．