Question

4、设函数f（x）=x²+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（　　）

A、任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数

B、存在m∈R，使y=f（x）是奇函数

C、任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数

D、存在m∈R，使y=f（x）是偶函数

Answer 1

分析：从函数的奇偶性的定义进行判断，对于f（x）=x²+mx，不论m为何值时，定义域总是R，故而只需求出f（-x）和-f（x），即f（-x）=（-x）²+m（-x）=x²-mx，-f（x），若函数为奇函数，则f（-x）=-f（x），即x²-mx=-x²-mx恒成立，而x²-mx=-x²-mx恒成立是不可能，故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数；若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），即x²+mx=x²-mx恒成立，故只需要m为0时即可

解答：解：由题意知函数的定义域均为R
若函数为奇函数
则f（-x）=-f（x），
即x²-mx=-x²-mx恒成立，
而x²-mx=-x²-mx只有在x=0时才成立，而题中给出的x是一切实数，故x²-mx=-x²-mx恒成立是不可能，
故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数；
若函数为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即x²+mx=x²-mx恒成立，
故只需要m为0时即可
故选D

点评：本题考查了二次函数的性质，函数奇偶性的判断，属于基础题．