题目内容

(选修4-5:不等式选讲)
设函数f(x)=mx-2+|2x-1|.
(1)若m=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若函数f(x)有最小值,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x-2+|2x-1|,分当x≥
1
2
时和当x<
1
2
时两种情况,去掉绝对值,
求得原不等式的解集.
(Ⅱ)根据f(x)的解析式,分x<
1
2
、x≥
1
2
两种情况,利用函数的单调性以及函数有最小值,
可得 
m+2≥0
m-2≤0
,由此求得实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x-2+|2x-1|,
当x≥
1
2
时,f(x)≤3可化为2x-2+2x-1≤3,解之得
1
2
≤x≤
3
2

当x<
1
2
时,f(x)≤3可化为2x-2+1-2x≤3,解之得x<
1
2

综上可得,原不等式的解集为{x|x≤
3
2
}.
(Ⅱ)f(x)=mx-2+|2x-1|=
(m+2)x-3 ,x≥
1
2
(m-2)x-1 ,x<
1
2

若函数f(x)有最小值,
则当x<
1
2
时,函数f(x)递减,当x≥
1
2
时,函数f(x)递增,
m+2≥0
m-2≤0
,即-2≤m≤2,
即实数m的取值范围是[-2,2].
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的最值的应用,体现了分类讨论、转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网