Question

设函数f（x）=

mx+2

x-1

的图象关于点（1，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，且f（|t-2|+

3

2

）＜2a+f（4a），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在函数f（x）图象上取一点（0，-2），此点关于点（1，1）的对称点（2，4）在函数f（x）的图象上，由此求得m的值．
（2）由（1）可得f（x）=1+

3

x-1

，故 f（x） 的值域为{y|y≠1}，a=1．不等式即 f（|t-2|+

3

2

）＜2+f（4）=4，整理可得|t-2|＞

1

2

，由此求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）在函数f（x）=

mx+2

x-1

的图象上取一点（0，-2），此点关于点（1，1）的对称点为（2，4），
由题意可得，点（2，4）在函数f（x）=

mx+2

x-1

的图象上，∴4=

2m+2

2-1

，解得 m=1．
（2）由（1）可得f（x）=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

，∴f（x） 的值域为{y|y≠1}．
当直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，a=1，不等式即 f（|t-2|+

3

2

）＜2+f（4）=4，
∴1+

3

|t-2|+ 1 2

＜4，整理可得|t-2|＞

1

2

，解得：t＞

5

2

，或 t＜

3

2

，
即实数t的取值范围为（

5

2

，+∞）∪（-∞，

3

2

 ）．

点评：本题主要考查函数的图象，分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．