题目内容
在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设f(x)=| OA |
| OB |
（1）若a=
| 3 |
（2）若点A是过点（-1，1）且法向量为
| n |
（3）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一个条件，使得函数f（x）满足“图象关于点(
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
分析：（1）根据向量数量积的定义表示出函数f（x）的解析式将a=
，b=1，ω=2代入后化简，再令f（x）=1解出x的值即可．
（2）先写出直线l的方程，得到a与b的关系代入f（x）求出函数f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
（3）根据三角函数的对称性对b分大于0和小于0两种情况进行分析．
| 3 |
（2）先写出直线l的方程，得到a与b的关系代入f（x）求出函数f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
（3）根据三角函数的对称性对b分大于0和小于0两种情况进行分析．
解答：解：（1）由题意f(x)=
•
=bsinωx+acosωx，
当a=
，b=1，ω=2时，f(x)=sin2x+
cos2x=2sin(2x+
)=1，?sin(2x+
)=
，
则有2x+
=2kπ+
或2x+
=2kπ+
，k∈Z．
即x=kπ-
或x=kπ+
，k∈Z．
又因为x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为{
，
，
，
}．
（2）由题意，l的方程为-（x+1）+（y-1）=0?y=x+2．A在该直线上，故b=a+2．
因此，f(x)=(a+2)sinωx+acosωx=
sin(ωx+φ)，
所以，f（x）的值域M=[-
，
]．
又x2+mx=0的解为0和-m，故要使P⊆M恒成立，
只需-m∈[-
，
]，而
=
≥
即-
≤m≤
，所以m的最大值
．
（3）因为f(x)=
•
=bsinωx+acosωx=
sin(ωx+φ)，
设周期T=
．
由于函数f（x）须满足“图象关于点(
，0)对称，
且在x=
处f（x）取得最小值”．
因此，根据三角函数的图象特征可知，
-
=
+
•T?
=
(
)?ω=6n+3，n∈N．
又因为，形如f(x)=
sin(ωx+φ)的函数的图象的对称中心都是f（x）的零点，故需满足sin(
ω+φ)=0，
而当ω=6n+3，n∈N时，
因为
(6n+3)+φ=2nπ+π+φ，n∈N；
所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，f（x）的图象关于点(
，0)对称；
此时，
?a=0，
=±1．
（i）当b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使x=
处f（x）取得最小值，
则有f(
)=sin(
•ω)=-1?
•ω=2kπ-
?ω=12k-3，k∈Z；
又ω＞0，则有ω=12k-3，k∈N*；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+9，m∈N；
（ii）当b＜0，a=0时，f（x）=-sinωx，进一步要使x=
处f（x）取得最小值，
则有f(
)=-sin(
•ω)=-1?
•ω=2kπ+
?ω=12k+3，k∈Z；
又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+3，m∈N；
综上，使得函数f（x）满足“图象关于点(
，0)对称，
且在x=
处f（x）取得最小值”的充要条件是：
“当b＞0，a=0时，ω=12m+9（m∈N）或当b＜0，a=0时，ω=12m+3（m∈N）”．
| OA |
| OB |
当a=
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
则有2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
即x=kπ-
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
又因为x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为{
| π |
| 4 |
| 11π |
| 12 |
| 5π |
| 4 |
| 23π |
| 12 |
（2）由题意，l的方程为-（x+1）+（y-1）=0?y=x+2．A在该直线上，故b=a+2．
因此，f(x)=(a+2)sinωx+acosωx=
| (a+2)2+a2 |
所以，f（x）的值域M=[-
| (a+2)2+a2 |
| (a+2)2+a2 |
又x2+mx=0的解为0和-m，故要使P⊆M恒成立，
只需-m∈[-
| (a+2)2+a2 |
| (a+2)2+a2 |
| (a+2)2+a2 |
| 2(a+1)2+2 |
| 2 |
即-
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（3）因为f(x)=
| OA |
| OB |
| a2+b2 |
设周期T=
| 2π |
| ω |
由于函数f（x）须满足“图象关于点(
| π |
| 3 |
且在x=
| π |
| 6 |
因此，根据三角函数的图象特征可知，
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| T |
| 4 |
| n |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| ω |
| 2n+1 |
| 4 |
又因为，形如f(x)=
| a2+b2 |
| π |
| 3 |
而当ω=6n+3，n∈N时，
因为
| π |
| 3 |
所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，f（x）的图象关于点(
| π |
| 3 |
此时，
|
| b |
| |b| |
（i）当b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使x=
| π |
| 6 |
则有f(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
又ω＞0，则有ω=12k-3，k∈N*；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+9，m∈N；
（ii）当b＜0，a=0时，f（x）=-sinωx，进一步要使x=
| π |
| 6 |
则有f(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+3，m∈N；
综上，使得函数f（x）满足“图象关于点(
| π |
| 3 |
且在x=
| π |
| 6 |
“当b＞0，a=0时，ω=12m+9（m∈N）或当b＜0，a=0时，ω=12m+3（m∈N）”．
点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的两角和与差的正弦公式的应用．属难题．平时要注意基础知识的掌握遇到难题时方能迎刃而解．
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