题目内容

在数列{an}中，a1=a2=1，an+1+（n-1）an-1=（n+1）an，n=2，3，4，…．关于数列{an}给出下列四个结论：
①数列{an+1-nan}是常数列；                   
②对于任意正整数n，有an≤an+1成立；
③数列{an}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④．
其中全部正确结论的序号是    ．
【答案】分析：①由an+1+（n-1）an-1=（n+1）an，可得（an+1-nan）-[an-（n-1）an-1]=0，从而可知数列{an+1-nan}是常数列；                   
②由①知，an+1-nan=0，从而可得=n，故对于任意正整数n，有an≤an+1成立；
③由②知，数列{an}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④确定=，利用裂项法，可求和．
解答：解：①∵an+1+（n-1）an-1=（n+1）an，
∴（an+1-nan）-[an-（n-1）an-1]=0
∵a1=a2=1，∴a2-a1=0，
∴数列{an+1-nan}是常数列；                   
②由①知，an+1-nan=0，∴=n，∴对于任意正整数n，有an≤an+1成立；
③由②知，数列{an}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④∵，∴=，
∴．
综上，正确结论的序号是①②③④
故答案为①②③④
点评：本题考查数列递推式，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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