已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}$..以坐标原点为极点.x正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是ρ=$\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．(2)若点P是曲线C上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}$，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=$\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．
（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．

分析（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．

解答解：（1）$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}\right.，（t为参数）$，消去参数可得x-y=1
直线l的极坐标方程为$ρcosθ-ρsinθ=1即\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$…．（3分）
由$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．得ρcos²θ=sinθ⇒ρ²cos²θ=ρsinθ
得y=x²（x≠0）…..（5分）
（2）设P（x₀，y₀），则${y_0}={x_0}^2（x≠0）$
点P到直线l的距离为$d=\frac{{|{x_0}-{y_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{x_0}-{x_0}^2-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|-{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}-\frac{3}{4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{3}{4}}}{{\sqrt{2}}}$
当${x_0}=\frac{1}{2}时{d_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}，此时P（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$…..（8分）
当$P（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$P到直线l的距离最小，最小${d_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$…．（10分）