Question

已知抛物线y²=2x，直线l过点（0，2）与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与抛物线的方程联立可得k²x²+（4k-2）x+4=0，由△＞0，解得k＜

1

4

．由于以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，可得

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，把根与系数的关系代入可得k．

解答： 解：设直线l的方程为y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 y2=2x

，化为k²x²+（4k-2）x+4=0，
△=（4k-2）²-16k²＞0，解得k＜

1

4

．
∴x1+x2=

2-4k

k2

，x1x2=

4

k2

．
∵以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴

4(1+k2)

k2

+

2k(2-4k)

k2

+4=0，
化为k=-1．
∴直线l的方程为y=-x+2．

点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．