Question

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，
依题意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0，
由y=x²， ①
得y′=x，
∴过点P的切线的斜率k_切=x₁，
∴直线l的斜率k_l=，
∴直线l的方程为，
联立①②消去y，得，
∵M是PQ的中点，
∴，
消去x₁，得，
∴PQ中点M的轨迹方程为；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，
依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)，
分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，
则，
由消去x，得y²-2(k²+b)y+b²=0， ③
则y₁+y₂=2(k²+b)，y₁y₂=b²，
∴，
∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+∞）。