题目内容
如图,P是抛物线C:y=1 |
2 |
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求
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|SP| |
|ST| |
|SQ| |
分析:(1)设M(x0,y0),欲求点M的轨迹方程,即寻找其坐标的关系,可通过另外两点P,Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解,
(2)欲
+
的取值范围,可转化为将其表示成某变量的表达式,然后再求此表达式的最值问题,另外,为了化简比例式,一般将线段投影到坐标轴上的线段解决.
(2)欲
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|SP| |
|ST| |
|SQ| |
解答:解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.
由y=
x2,①
得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k=x1,
∴直线l的斜率kl=-
=-
,
∴直线l的方程为y-
x12=-
(x-x1),②
联立①②消去y,得x2+
x-x12-2=0.
∵M是PQ的中点
∴x0=
=-
,y0=
x12-
(x0-x1)
消去x1,得y0=x02+
+1(x0≠0),
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
+1(x≠0).
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).
分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则
+
=
+
=
+
.
由y=
x2,y=kx+b消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2.
∴
+
=|b|(
+
)≥2|b|
=2|b|
=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴
+
的取值范围是(2,+∞).
由y=
1 |
2 |
得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k=x1,
∴直线l的斜率kl=-
1 |
k |
1 |
x1 |
∴直线l的方程为y-
1 |
2 |
1 |
x1 |
联立①②消去y,得x2+
2 |
x1 |
∵M是PQ的中点
∴x0=
x1+x2 |
2 |
1 |
x1 |
1 |
2 |
1 |
x1 |
消去x1,得y0=x02+
1 | ||
2
|
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
1 | ||
2
|
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).
分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则
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|SP| |
|ST| |
|SQ| |
|OT| |
|P′P| |
|OT| |
|Q′Q| |
|b| |
|y1| |
|b| |
|y2| |
由y=
1 |
2 |
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2.
∴
|ST| |
|SP| |
|ST| |
|SQ| |
1 |
y1 |
1 |
y2 |
|
|
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴
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|SP| |
|ST| |
|SQ| |
点评:本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.
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