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精英家教网如图,P是抛物线C:y=
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x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q.
(Ⅰ)当点P的横坐标为2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.
分析:(1)由于直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,要求求直线l的方程,我们可以根据点P的横坐标为2,求出点P的坐标,并求出P点处函数的导数值,即过P点切线的斜率,进而得到直线l的斜率,代入点斜式方程进行求解.
(2)方法一,求线段PQ中点M的轨迹方程,我们可以分别求出直线与抛物线两交点的坐标,代入中点公式进行化简,得到变量x,y之间的关系,即轨迹方程;
方法二:将直线方程代入抛物线的方程,再结合韦达定理(根与系数关系)对式子进行化简,探究变量x,y之间的关系,即轨迹方程.
解答:解:(Ⅰ)把x=2代入y=
1
2
x2
,得y=2,
∴点P坐标为(2,2).
y=
1
2
x2
,①
得y'=x,
∴过点P的切线的斜率k=2,
直线l的斜率kl=-
1
k
=-
1
2

∴直线l的方程为y-2=-
1
2
(x-2),
即x+2y-6=0.

(Ⅱ)设P(x0y0),则y0=
1
2
x
2
0
.

∵过点P的切线斜率k=x0
当x0=0时不合题意,x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-
1
k
=-
1
x0

直线l的方程为y-
1
2
x
2
0
=-
1
x0
(x-x0).

方法一:联立①②消去y,得x2+
2
x0
x-x02-2=0.设Q(x1,y1),M(x,y).
∵M是PQ的中点,
x=
x0+x1
2
=-
1
x0
y=-
1
x0
(-
1
x0
-x0)+
1
2
x
2
0
=
1
x
2
0
+
x
2
0
2
+1.

消去x0,得y=x2+
1
2x2
+1
(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知x2>0,∴y=x2+
1
2x2
+1≥2
x2
1
2x2
+1=
2
+1.

上式等号仅当x2=
1
2x2
,即x=±4
1
2
时成立,所以点M到x轴的最短距离是
2
+1.

方法二:
设Q(x1,y1),M(x,y).则
由y0=
1
2
x02,y1=
1
2
x12,x=
x0+x1
2

∴y0-y1=
1
2
x02-
1
2
x12=
1
2
(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1),
x=
y0-y1
x0-x1
=kl=-
1
x0
,∴x0=-
1
x

将上式代入②并整理,得y=x2+
1
2x2
+1
(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知x2>0,∴y=x2+
1
2x2
+1≥2
x2
1
2x2
+1=
2
+1.

上式等号仅当x2=
1
2x2
,即x=±4
1
2
时成立,所以点M到x轴的最短距离是
2
+1.
点评:本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.在使用点斜式表示过定点的直线方程时,一定要注意它不能表示斜率不存在的直线,此时与它垂直的直线斜率为0,故在使用前要对这种情况进行讨论.
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