题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）和圆
：
，
分别是椭圆的左、右两焦点，过
且倾斜角为
（
）的动直线
交椭圆于
两点，交圆于
两点（如图所示，点
在
轴上方）.当
时，弦
的长为
.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若
依次成等差数列，求直线的方程.
【答案】（1）椭圆
的方程为：
，
：
；（2）直线
的方程为：
.
【解析】
试题（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求
的值，而本身满足
，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为
考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过
，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为
成等差数列，结合椭圆的定义，可求得
的长，从而可求得
的坐标，最终可求得直线的方程.
试题解析：（1）取的中点
，连
，由
，
，知
，
，
，即
，从而
，
椭圆的方程为：，：.
（2）设
，
，又
的长成等差数列，
，
设
，由
解得
，
， ：.
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