Question

【题目】已知函数，．

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义建立方程求解；（2）借助题设运用转化化归的思想进行转化再运用导数知识求解；（3）依据题设先将问题进行转化,再借助导数知识分类整合思想分类探求求解.

试题解析：

（1）由，得，

由题意，所以．

（2），

因为对任意两个不等的正数，，都有，

设，则，即恒成立，

问题等价于函数，即在为增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即实数的取值范围是．

（3）不等式等价于，

整理得，

设，由题意知，在上存在一点，使得，

由，

因为，所以，令，得．

①当，即时，在上单调递增，

只需，解得．

②当，即时，在处取最小值，

令，即，可得，

考查式子，因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不可能成立．

③当，即时，在上单调递减，

只需，解得．

综上所述，实数的取值范围是．