Question

已知椭圆

x2

10

+y2=1的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上且

PF1

•

PF2

=0，则点P到x轴的距离为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．

  1

  6

• D．

  3

Answer 1

分析：由

PF1

•

PF2

=0得

PF1

⊥

PF2

，根据题意算出椭圆的焦距

|F1F2|

 =6，利用勾股定理得

|PF1|

2+

|PF2|

2=

|F1F2|

2=36，由椭圆的定义得

|PF1|

 +

|PF2|

 =2a=2

10

，两式联解算出

|PF1|

 •

|PF2|

 =2，从而算出△PF₁F₂的面积为S=1．设d为点P到x轴的距离，则△PF₁F₂的面积S=

1

2

|F1F2|

 ×d，由此建立关于d的方程，即可解出点P到x轴的距离．

解答：解：∵椭圆

x2

10

+y2=1中，a²=10，b²=1，
∴c²=a²-b²=9，得c=3，
焦点坐标为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
∵

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

，
可得

|PF1|

2+

|PF2|

2=

|F1F2|

2=36，
∵根据椭圆的定义，得

|PF1|

 +

|PF2|

 =2a=2

10

，
∴2

|PF1|

 •

|PF2|

 =（

|PF1|

 +

|PF2|

 ）²-（

|PF1|

2+

|PF2|

2）=4，
可得

|PF1|

 •

|PF2|

 =2，
∵

PF1

⊥

PF2

，
∴△PF₁F₂的面积为S=

1

2

|PF1|

 •

|PF2|

 =1．
又∵设d为点P到x轴的距离，可
得△PF₁F₂的面积为S=

1

2

|F1F2|

 ×d，
∴

1

2

|F1F2|

 ×d=1，
即

1

2

×6×d=1，解得d=

1

3

，
即点P到x轴的距离等于

1

3

．
故选：B

点评：本题已知椭圆上点P对两个焦点张角为直角，求该点到x轴的距离，着重考查了椭圆中的三角形面积计算、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．