Question

15．已知F₂，F₁是双曲线 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，3）
• B． （3，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 首先求出F₂到渐近线的距离，利用F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得△MF₁F₂为钝角三角形，运用三边关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（0，-c），F₂（0，c），
一条渐近线方程为y=$\frac{a}{b}$x，则F₂到渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，
∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为钝角，
∴△MF₁F₂为钝角三角形，
∴4c²＞c²+4b²
∴3c²＞4（c²-a²），∴c²＞4a²，
∴c＞2a，
∴e＞2．
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．