Question

1．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），则曲线C的离心率为$\frac{5}{3}$．若点P（x，y）在曲线C上运动，则x-$\frac{1}{2}$y的取值范围是[-$\sqrt{5}$，3]．

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\frac{x}{3}}\\{tanθ=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$，1+tan²θ=sec²θ，求出曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，由此能求出曲线C的离心率；x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{cosθ}-2tanθ$=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，设f（θ）=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，利用导数性质能求出x-$\frac{1}{2}$y的取值范围．

解答 解：∵曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\frac{x}{3}}\\{tanθ=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$，∵1+tan²θ=sec²θ，
∴1+$\frac{{y}^{2}}{16}$=$\frac{{x}^{2}}{9}$，∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∵a=3，b=4，c=5，
∴曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
∵曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{cosθ}-2tanθ$=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，
设f（θ）=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，则${f}^{'}（θ）=\frac{3sinθ-2}{co{s}^{2}θ}$，
∴由f′（θ）=0，得$sinθ=\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\frac{2}{3}$时，f（θ）_min=-$\frac{3-2×\frac{2}{3}}{\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}}$=-$\sqrt{5}$，
f（0）=$\frac{3-2sin0}{cos0}$=3，f（2π）=f（0）=3，
∴f（θ）_max=3．
∴x-$\frac{1}{2}$y的取值范围是[-$\sqrt{5}$，3]．
故答案为：$\frac{5}{3}$，[-$\sqrt{5}$，3]．

点评 本题考查曲线的离心率的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和三角函数性质的合理运用．