Question

在△ABC中，已知边c=10，又已知

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，求a，b及△ABC的内切圆的半径．

Answer 1

分析：根据正弦定理表示出

b

a

，与已知的等式等量代换，并利用二倍角的正弦函数公式化简，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A与B互余，再根据

b

a

值不为1，得到a与b不等，从而A不等于B，可得A+B=90°，即C为直角，得到三角形ABC为斜边是c的直角三角形，根据已知

b

a

的值及勾股定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，把a，b及c的值代入内切圆半径公式

a+b-c

2

即可求出三角形ABC内切圆的半径．

解答：解：根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得

b

a

=

sinB

sinA

，又

cosA

cosB

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，又A，B为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，
又

b

a

=

4

3

，∴A≠B，
∴A+B=90°，即△ABC为直角三角形，且c为斜边，c=10，
根据题意及勾股定理列得：

b a = 4 3 a2+b2=c2=100

，
解得：

a=6 b=8

，
则△ABC的内切圆半径r=

a+b-c

2

=

6+8-10

2

=2．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及勾股定理，根据正弦定理化简已知的等式得到角A与角B的关系是本题的突破点，学生做题时注意利用已知条件舍去不合题意的解，即A=B要舍去．