题目内容

已知F为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，直线l过点F且与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线l1，l2分别交于点M，N，与椭圆交于点A，B．
（Ⅰ）若∠MON=
π
3
，双曲线的焦距为4．求椭圆方程．
（Ⅱ）若
OM
•
MN
=0（O为坐标原点），
FA
=
1
3
AN
，求椭圆的离心率e．
（Ⅰ）∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦点在x轴上，
∴渐近线方程为y=±
b
a
x
∴渐近线l1的斜率为
b
a

又∵∠MON=
π
3
，M，N是直线l与双曲线两条渐近线l1，l2的交点，
∴渐近线l1的倾斜角为
π
6
，
∴
b
a
=tan
π
6
=
3
3
，即a=
3
b
∵双曲线的焦距为4，
∴a2+b2=4．
把a=
3
b代入，得，a2=3，b2=1
∴椭圆方程为
x2
3
+y2=1
（Ⅱ）设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）
∵
OM
•
ON
=0，∴l⊥l1
∵直线l1的方程为y=-
b
a
x，∴直线l的斜率为
a
b
，
∴直线l的方程为y=
a
b
(x-c)
联立l1，l方程，由
y=
a
b
(x-c)
y=
b
a
x
解得
x=
a2
c
y=
ab
c

即点N(
a2
c
，
ab
c
)
设A（x，y），由
FA
=
1
3
AN
，得(x-c，y)=
1
3
(
a2
c
-x，
ab
c
-y)
即
x-c=
1
3
(
a2
c
-x)
y=
1
3
(
ab
c
-y)
，解得，
x=
3c2+a2
4c
y=
ab
4c

∴A(
3c2+a2
4c
，
ab
4c
)
∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得
(3c2+a2)2
16a2c2
+
a2
16c2
=1
即（3c2+a2）2+a4=16a2c2，
∴（3e2+1）2+1=16e2，即9e4-10e2+2=0
解得e2=
5±
7
9

∴e=
5±
7
3

椭圆的离心率是e=
5±
7
3
练习册系列答案
相关题目
已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．
若焦点在x轴的双曲线的一条渐近线为y=
1
2
x，则它的离心率e=______．
若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)与直线y=
3
x无交点，则离心率e的取值范围（　　）
A．（1，2）B．（1，2]C．（1，
5
）		D．（1，
5
]
设经过双曲线x2-
y2
3
=1的左焦点F1作倾斜角为
π
6
的直线与双曲线左右两支分别交于点A，B．求
（I）线段AB的长；
（II）设F2为右焦点，求△F2AB的周长．
已知双曲线x2-
y2
a
=1的一条渐近线与直线x-2y+3=0垂直，则a=______．
设P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上除顶点外的任意一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，则
F1M
•
MF2
=（　　）
A．a2B．b2C．a2+b2D．
1
2
b2
已知双曲线
x2
16
-
y2
4
=1上一点P到一个焦点的距离为10，则它到另一个焦点的距离为______．
设双曲线C：
x2
2
-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．
（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；
（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线l：x=
1
2
，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求
FP
•
FQ
的取值范围．

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