Question

3．解方程：$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$=6．

Answer 1

分析 $\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$表示平面上（x，$\frac{4}{3}$）点到（±$\sqrt{5}$，0）点距离的和，即直线y=$\frac{4}{3}$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$交点的横坐标，进而可得答案．

解答 解：$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$表示平面上（x，$\frac{4}{3}$）点到（±$\sqrt{5}$，0）点距离的和，
由到（±$\sqrt{5}$，0）点距离和为6的点的轨迹为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
令y=$\frac{4}{3}$得，x=±$\sqrt{5}$，
故方程$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$=6的两根为±$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，其中将方程的根转化为直线y=$\frac{4}{3}$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$交点的横坐标，是解答的关键．