Question

19．已知（x²+x-a）⁷的展开式中，x³的系数是-784，则a的值是1．

Answer 1

分析 先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，利用x³的系数是-784，求出a的值．

解答 解：式子（x²+x-a）⁷ =[（x²+x）-a]⁷的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（x²+x）^7-r•（-a）^r，
对于（x²+x）^7-r，它的通项公式为T_r′+1=${C}_{7-r}^{r′}$•x^14-2r-r′，
其中，0≤r′≤7-r，0≤r≤7，r、r′都是自然数．
令14-2r-r′=3，可得r=4、r′=3，或r=5、r′=1，
故x³项的系数为${C}_{7}^{4}$（-a）⁴+${C}_{7}^{5}$（-a）⁵•${C}_{2}^{1}$=-784，
∴a=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．