Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．

(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为45°，求PD∶AD的值．

Answer 1

（1）见解析（2）∶2

(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC?平面EAC.
所以平面EAC⊥平面PBD.
(2)解　连接OE，

因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n₁＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n₂＝(x，y，z)
则n₂·＝0，且n₂·＝0，
即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.
取x＝1，则y＝，z＝，则n₂＝，
∴cos 45°＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.