Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形，，且．

（1）证明：平面平面．
（2）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：解法一利用综合法证明解题：
（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）如图4-1中，设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2，则OA=，AE=2，所以OE=，EC=，所以在三角形OEC中，利用余弦定理可得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=.
解法二利用向量法：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图4-2所示，
（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，从而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.
（2）设平面BED的法向量为，由，得，故取    8分
而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，则有 .
试题解析：解法一：

（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.
过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，
即∠OEC为EC与平面BED所成的角.      7分
设正方形边长为2，则OA=，AE=2，
所以OE=，EC=，       9分
所以在三角形OEC中，
由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=         12分
解法二：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．  1分

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)      2分
(0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，
从而有，，
即BD⊥AC，BD⊥AE，
所以BD⊥平面AEC，
故平面BED⊥平面AEC.         6分
（2）设平面BED的法向量为，
由，得，故取    8分
而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，
则有                       12分