Question

甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：

（1）两个人都译出密码的概率；

（2）两个人都译不出密码的概率；

（3）至多1个人译出密码的概率；

（4）至少1个人译出密码的概率.

Answer 1

思路分析： 我们把“甲独立地译出密码”记为事件A，把“乙独立地译出密码”记为事件B，显然，A，B为相互独立事件.问题（1）相当于事件A，B同时发生，即事件AB.问题（2）相当于事件·.问题（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，即事件AB.问题（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，即事件·.由于A、B是相互独立事件，上述问题中，与B，A与，与都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.

解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”记为事件B，A、B为相互独立事件，且P（A）=，P（B）=.

（1）两个人都译出密码的概率为：P（A·B）=P（A）·P（B）=×=.

（2）两个人都译不出密码的概率为：P(·)=P（）·P（）=［1-P（A）］×［1-P(B)］=(1-)(1-)=.

（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-×=.

（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为1-P(·)=1-P()P()=1-=.

    方法归纳 解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来解决.在运用乘法公式时，一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式.

    深化升华 在求事件的概率时，有时遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的问题，如果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但它们的对立事件却往往较简单，其概率也易求，此时，可逆向思维，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式，求得原来事件的概率，即正难则反.