Question

甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:

(1)两个人都译出密码的概率;

(2)两个人都译不出密码的概率;

(3)恰有一个人译出密码的概率;

(4)至多一个人译出密码的概率;

(5)至少一个人译出密码的概率.

Answer 1

解析:我们把“甲独立地译出密码”记为事件A,把“乙独立地译出密码”记为事件B,显然A、B为相互独立事件,问题(1)两个都译出密码相当于事件A、B同时发生,即事件AB.问题(2)两人都译不出密码相当于事件.问题(3)恰有一个人译出密码可以分成两类:A发生B不发生,A不发生B发生,即恰有一个人译出密码相当于事件A+B.问题(4)至多一个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码,即事件.由于A、B是独立事件,上述问题中,与B,A与,与是相互独立事件,可以用公式计算相关概率.

解:记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A、B为相互独立事件,且P(A)=,P(B)=.

(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)=P(A)×P(B)=×=.

(2)两个人都译不出密码的概率为P()=P()×P()=［1-P(A)］×［1-P(B)］=(1-)(1-)=.

(3)恰有一个人译出密码可以分为两类:甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有一个人译出密码的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()

P(B)=(1-)+(1-)=.

(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”,所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-×=.

(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”,所以至少有1个人译出密码的概率为1-P()=1-P()P()=1-=.

小结：如果需要提高能译出密码的可能性,就需要增加可能译出密码的人,现在可以提出这样的问题:若要达到译出密码的概率为99%,至少需要像乙这样的人多少个?我们可以假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码,此问题相当于n次独立重复试验,要译出密码相当于至少有1个译出密码,其对立事件为所有人都未译出密码,能译出密码的概率为1-［P()］ⁿ=1-(1-)ⁿ=1-()ⁿ,按要求,1-()ⁿ≥0.99,故()ⁿ≤0.01,可以计算出n≥16,即至少有像乙这样的人16名,才能使译出密码的概率达到99%.