题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ 其中k＞0，数列{b_n}满足： $数学公式$
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．

解：（1）经过计算可知：a₄=k+1，a₅=k+2， $\text{[math]}$ ．
求得 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（2）由条件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
类似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有： $\text{[math]}$
即：b_n=b_n-2
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
所以： $\text{[math]}$ ．…（8分）
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数
则由（2）可知： $\text{[math]}$ …③
由 $\text{[math]}$ 可知k=1，2．
当k=1时， $\text{[math]}$ 为整数，利用a₁，a₂，a₃∈Z，结合③式，反复递推，可知{a_n}的每一项均为整数
当k=2时，③变为 $\text{[math]}$ …④
我们用数学归纳法证明a_2n-1为偶数，a_2n为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a_2n-1为偶数，a_2n为整数，故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1为偶数，a_2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{a_n}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）
分析：（1）经过计算可知：a₄=k+1，a₅=k+2， $\text{[math]}$ ．根据数列{b_n}满足： $\text{[math]}$ ，从而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由条件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．类似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，两式相减整理得b_n=b_n-2，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数则由（2）可知： $\text{[math]}$ …③
由 $\text{[math]}$ 可求得k=1，2．只需证明 k=1，2时，满足题意．
点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．