Question

已知sinx+cosx=,且x∈(,2π).

(1)求sinx、cosx、tanx的值;

(2)求sin³x-cos³x的值.

Answer 1

(1)解析一:由sinx+cosx=,得sinx=-cosx,代入sin²x+cos²x=1中得(5cosx-4)(5cosx+3)=0,

即cosx=-(舍去)或cosx=(∵＜x＜2π).

当cosx=时,由已知得sinx=-.

因此,sinx=-,cosx=,tanx==-.

解析二:因为(sinx+cosx)²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx,所以1+2sinxcosx=,

2sinxcosx=-＜0.

又因为＜x＜2π,所以sinx＜0,得知cosx＞0.因此

(sinx-cosx)²=1-2sinxcosx=1+=.

再由cosx-sinx＞0,得sinx-cosx=-.

解方程组

得

所以tanx=-.

(2)解析:sin³x-cos³x=(sinx-cosx)(sin²x+sinxcosx+cos²x)=-(1-)=-.