Question

（1）已知sinx+cosx=

1

5

，x∈(0，x)，求tanx的值．
（2）已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，cosα=

3

5

，sin(α+β)=

5

13

，求sinα和cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinxcosx的值小于0，由x的范围得到sinx大于0，cosx小于0，利用完全平方公式求出sinx-cosx的值，与已知等式联立求出sinx与cosx的值，即可确定出tanx的值；
（2）由α的范围及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，由sin（α+β）的值大于0，及α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，将cosβ变形为cos[（α+β）-α]，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）将sinx+cosx=

1

5

②两边平方得：（sinx+cosx）²=

1

25

，
∴1+2sinxcosx=

1

25

，即2sinxcosx=-

24

25

＜0，
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

，
∴sinx-cosx=

7

5

②，
联立①②解得：sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，
则tanx=

sinx

cosx

=-

4

3

；
（2）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sin（α+β）=

5

13

＞0，cosα=

3

5

，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．