题目内容
已知| OM |
| ON |
| PQ |
| 4 |
| 5cosα |
（1）当cosα=
| 4 |
| 5sinx |
| ON |
| PQ |
（2）当
| OM |
| ON |
| 12 |
| 13 |
| OM |
| PQ |
分析：（1）根据函数y=
•
，
=(cosx，sinx)，
=(cosx，-sinx+
)，我们可给出函数的解析式，根据三角恒等变换，我们可将函数的解析式化为余弦型函数的形式，进而根据T=
，求出函数的最小正周期．
（2）因为
=(cosα，sinα)，
=(cosx，sinx)，我们易结合
•
=
，再根据α-x、α+x是锐角，我们易求出α-x、α+x的三角函数值，再根据2α=（α-x）+（α+x），求出cos2α的值．
| ON |
| PQ |
| ON |
| PQ |
| 4 |
| 5cosα |
| 2π |
| ω |
（2）因为
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
| 12 |
| 13 |
解答：解：（1）∵
=(cosx，sinx)，
=(cosx，-sinx+
)，
所以y=
•
=cos2x-sin2x+
．
又∵cosα=
，
∴y=cos2x-sin2x+
=cos2x+sin2x
=cos2x+
=
cos2x+
．
所以该函数的最小正周期是π．
（2）因为
=(cosα，sinα)，
=(cosx，sinx)
所以
•
=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=
∵α-x是锐角
∴sin(α-x)=
=
∵
∥
∴-cosαsinx+
-sinαcosx=0，即sin(α+x)=
∵α+x是锐角
∴cos(α+x)=
=
∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）
=
×
-
×
=
，即cos2α=
．
| ON |
| PQ |
| 4 |
| 5cosα |
所以y=
| ON |
| PQ |
| 4sinx |
| 5cosα |
又∵cosα=
| 4 |
| 5sinx |
∴y=cos2x-sin2x+
| 4sinx |
| 5cosα |
=cos2x+
| 1-cos2x |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以该函数的最小正周期是π．
（2）因为
| OM |
| ON |
所以
| OM |
| ON |
| 12 |
| 13 |
∵α-x是锐角
∴sin(α-x)=
| 1-cos2(α-x) |
| 5 |
| 13 |
∵
| OM |
| PQ |
∴-cosαsinx+
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵α+x是锐角
∴cos(α+x)=
| 1-sin2(α+x) |
| 3 |
| 5 |
∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）
=
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 16 |
| 65 |
| 16 |
| 65 |
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，平行（共线）向量，两角和的余弦公式，解答的关键（1）中要将函数的解析式化为余弦型函数的形式，（2）中关键是分析已知角与未知角的关系．
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