Question

设f（x）=3sinx•cosx-4cos²x
（1）求f(

π

4

)的值；
（2）若对一切x∈R，常数m、M满足m≤f（x）≤M，求M-m的最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=3sinx•cosx-4cos²x转化为：f（x）=

3

2

sin2x-2cos2x-2，f(

π

4

)的值可求；
（2）利用辅助角公式将f（x）=

3

2

sin2x-2cos2x-2，化为：f（x）=

5

2

sin（2x+φ）-2，（tanφ=

4

3

），从而可求得f（x）的取值范围，问题即可解决．

解答：解：（1）∵f（x）=3sinx•cosx-4cos²x=

3

2

sin2x-2（cos2x+1）=

3

2

sin2x-2cos2x-2，
∴f（

π

4

）=

3

2

-2=-

1

2

；
（2）∵f（x）=

3

2

sin2x-2cos2x-2=

( 3 2 )2+(-2)2

sin（2x+φ）-2=

5

2

sin（2x+φ）-2，（tanφ=

4

3

），又x∈R，
∴-

9

2

≤f（x）≤

1

2

；又m≤f（x）≤M，
M-m的最小值为：5．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，难点在于灵活应用三角函数的辅助角公式求最值，属于中档题．