Question

19．已知a∈R，函数f（x）=4^x-（2^a+2）•2^x+2^a+1．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）＞$\frac{2-{2}^{x}}{{2}^{x}}$对任意x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元，把函数转换为f（t）=t²-（2^a+2）t+2^a+1=（t-2）（t-2^a），利用二次函数进行分类求解；
（2）换元，不等式整理为2^a＜t+$\frac{1}{t}$，把恒成立问题转换为最值问题，进而求出a的范围．

解答 解：（1）令t=2^x
∴f（t）=t²-（2^a+2）t+2^a+1
=（t-2）（t-2^a）
当a=1时，f（t）＜0无解；
当a＜1时，2^a＜t＜2，即 2^a＜2^x＜2
∴a＜x＜1
当a＞1时，2^a＞t＞2，即 2^a＞2^x＞2，
∴1＜x＜a；
（2）令t=2^x，t∈（2，+∞）
∴（t-2）（t-2^a）＞$\frac{2-t}{t}$
∴2^a＜t+$\frac{1}{t}$
∵t+$\frac{1}{t}$＞$\frac{5}{2}$，
∴2^a＜$\frac{5}{2}$，
∴a＜log₂$\frac{5}{2}$．

点评 考查了换元法，二次不等式的求解和恒成立问题．属于常规题型，应熟练掌握．