Question

11．已知函数f（x）=|x²-1|，g（x）=kx²-（2+k）x+2，若函数F（x）=f（x）-g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 可判断x=1是函数F（x）的零点，0不是方程|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0的根，从而可得k=$\frac{|{x}^{2}-1|+2（x-1）}{x（x-1）}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$，从而作图求解．

解答 解：函数F（x）=f（x）-g（x）
=|x²-1|-（kx²-（2+k）x+2）
=|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1），
故x=1是函数F（x）的零点，
故函数F（x）=f（x）-g（x）有且只有一个不是1的零点，
显然0不是方程|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0的根，
∴|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0，
∴k=$\frac{|{x}^{2}-1|+2（x-1）}{x（x-1）}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$，
作函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$的图象如下，
，
结合图象可知，实数k的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用．