题目内容
设函数y=f(x)(x∈R，x≠0)对于任意非零实数x1，x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)在(0，+∞)内为增函数.(Ⅰ)求f(1)和f(-1)的值；
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；
(Ⅲ)若f(2)=1，解不等式f(x+1)+f(x-2)≤2．
答案：解：(Ⅰ)令x1=x2=1可得f(1)=2f(1)，
解得f(1)=0，
令x1=x2=-1可得f(1)=2f(-1)=0，
解得f(-1)=0．
(Ⅱ)∵f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，
即f(-x)=f(x)，
∴函数f(x)为R上的偶函数．
(Ⅲ)∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2．
∵f(x+1)+f(x-2)≤2，
∴f[(x+1)(x-2)]≤f(4)．
又∵函数f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)为增函数，
∴f(x)在(-∞，0)为减函数．
∴0＜|(x+1)(x-2)|≤4，
即
解之得x∈[-2，-1)∪(-1，2)∪(2，3]．
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