Question

设函数y=f(x)=ax+

1

x+b

(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x₀表示四边形QMPN的面积．．

Answer 1

分析：（1）将（0，-1）代入f（x）；将f（x）与y=-1得到的方程只有一个解，判别式为0；列出方程组求出a，b，求出解析式．
（2）利用函数图象的变换规律得到f（x）是有g（x）的图象平移得到，得到对称中心．
（3）求出交点坐标，表示出两点的距离，求出距离的乘积；利用三角形的面积公式求出平行四边形的面积．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax+

1

x+b

（a≠0）的图象过点（0，-1）
∴f（0）=-1得b=-1
所以f（x）=ax+

1

x+1

，（2分）
∵f（x）的图象与直线y=-1有且只有一个公共点
∴-1=ax+

1

x+1

只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+

1

x-1

（4分）
（2）证明：已知函数y₁=x，y₂=

1

x

都是奇函数．
所以函数g（x）=x+

1

x

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f（x）=x-1+

1

x-1

+1
可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）
（3）证明：∵P点(x0，x0+

1

x0-1

)
过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，
则QA=PN=AB=x₀-1，QB=

2

(x0-1)．
PA=y_P-1=x₀-1+

1

x0-1

，∴PB=PA-AB=

1

x 0-1

，
∴PM=BM=

2

2

PB=

1

2 (x0-1)

．
∴PM•PN=

1

2 (x0-1)

．（x₀-1）=

2

2

为定值．（13分）
连QP；∵QM=QB+BM=

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

，
∴S_△QMP=

1

2

QM×PM=

1

2

×
[

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

].

1

2 (x0-1)

=

1

2

+

1

4(x0-1)2

又S_△QNP=

1

2

NP×PA=

1

2

（x₀-1）．（x₀-1+

1

x0-1

）=

1

2

(x0-1)2+

1

2

∴S_QMPN=

1

2

(x0-1)2+

1

2

+

1

2

+

1

4(x0-1)2

=

1

2

(x0-1)2+

1

4(x0-1)2

+1（16分）

点评：本题考查待定系数法求函数的解析式、图象的平移变换、点到直线的距离公式、三角形的面积公式．