题目内容
在公差不为零的无穷等差数列{an}中，a2、a8、a38成等比数列
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）依次从该数列中取出一系列项构成一个等比数列，记作{an}，已知它的第一项为a n1=a2，第二项为a n2=a5，求此等比数列的公比q及和sk=n1+n2+…+nk．
（Ⅰ）求
| a3+a5 |
| a4+a6 |
（Ⅱ）依次从该数列中取出一系列项构成一个等比数列，记作{an}，已知它的第一项为a n1=a2，第二项为a n2=a5，求此等比数列的公比q及和sk=n1+n2+…+nk．
考点：等比数列的性质,等差数列的性质
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）利用a2、a8、a38成等比数列，求出d=2a1，即可求
的值；
（Ⅱ）利用ank是等差数列的第nk项，是等比数列的第k项，求得nk=
（1+3k），即可求出sk=n1+n2+…+nk．
| a3+a5 |
| a4+a6 |
（Ⅱ）利用ank是等差数列的第nk项，是等比数列的第k项，求得nk=
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则
∵a2、a8、a38成等比数列，
∴（a1+7d）2=（a1+d）（a1+37d）得d=2a1，
∴
=
-------------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=（2n-1）a1，公比为3--------（7分）
∵ank是等差数列的第nk项，∴ank=a1+（nk-1）•2a1，
ank是等比数列的第k项，∴ank=3a1•3k-1
∴由a1+（nk-1）•2a1=3a1•3k-1得nk=
（1+3k）
∴sk=n1+n2+…+nk=
-------------------------------------（12分）
∵a2、a8、a38成等比数列，
∴（a1+7d）2=（a1+d）（a1+37d）得d=2a1，
∴
| a3+a5 |
| a4+a6 |
| 7 |
| 9 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=（2n-1）a1，公比为3--------（7分）
∵ank是等差数列的第nk项，∴ank=a1+（nk-1）•2a1，
ank是等比数列的第k项，∴ank=3a1•3k-1
∴由a1+（nk-1）•2a1=3a1•3k-1得nk=
| 1 |
| 2 |
∴sk=n1+n2+…+nk=
| 3k+1+2k-3 |
| 4 |
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的求和，属于中档题．
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