Question

在平面四边形ACPE中（如图1），D为AC的中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A-PD-C为直二面角，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：面EGH∥面ADPE；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM⊥面PEB？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得FH∥BC、FG∥PE，从而FH∥AD，由此能证明面FGH∥面ADPE．
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系，利用微量 法能求出在线段PC上存在一点M，线段PM=

6

7

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵点F、G、H分别为PB、EB、PC的中点，
∴FH、FG分别为△PBC、△PBE的中位线，
∴FH∥BC、FG∥PE，
又正方形ABCD中，BC∥AD，∴FH∥AD，
又FH∩FG=F，PE?面ADPE，AD?面ADPE，
∴面FGH∥面ADPE．…（5分）
（Ⅱ）∵二面角A-PD-C为直二面角，
又PD⊥AD，PD⊥CD，
∴AD⊥CD，
如图建系，则有P（0，0，2），E（2，0，1），
B（2，2，0），F（1，1，1），G（2，1，

1

2

），
则

PE

=(2，0，-1)，

PB

=(2，2，-2)，
设面PEB的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PE =2x-z=0 n • PB =2x+2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2），…（7分）
设M（0，m，2-m），则

FG

=(1，0，-

1

2

)，

FM

=(-1，m-1，1-m)，
设面FGM的法向量为

m

=(a，b，c)，
则

m • FG =a- 1 2 c=0 m • FM =-a+(m-1)b+(1-m)c=0

，
取a=1，得

m

=(1，

2m-1

m-1

，2)，…（9分）
由面FGM⊥面PEB，得

n

•

m

=1+

2m-1

m-1

+4=0，解得m=4，…（11分）
∴在线段PC上存在一点M，线段PM=

6

7

2

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查使得面面垂直的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．