Question

5．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4＜0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，则$z=\frac{y+2}{x-1}$的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，-4）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• B． $（-∞，-2）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• C． $（-2，\frac{2}{3}）$
• D． $（-4，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后利用$z=\frac{y+2}{x-1}$的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，-2）两点直线的斜率，求解z的范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域OBC．
∵$z=\frac{y+2}{x-1}$，
∴z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，-2）两点直线的斜率．
∴由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，
经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．
由题意知C（4，0），∴k_OP=-2，k_PC=$\frac{-2-0}{1-4}$=$\frac{2}{3}$，
∴$z=\frac{y+2}{x-1}$的取值范围为z＞$\frac{2}{3}$或z＜-2，
即（-∞，-2）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是理解$z=\frac{y+2}{x-1}$的几何意义，是中档题．