Question

13．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;\;-1≤x≤0\\ \frac{1}{x}，\;\;x＞0\end{array}\right.$，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）∪（1，2）
• B． [0，+∞）
• C． （-∞，1]∪[2，+∞）
• D． [0，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 对x讨论，结合一次函数的单调性和基本不等式的运用，求得最小值，即可得到方程有解的实数m的范围．

解答 解：当-1≤x≤0时，x+f（x）=x+1∈[0，1]，
x+f（x）=m有解的条件为m∈[0，1]；
当x＞0时，x+f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时，取得最小值2．
可得x+f（x）=m有解的条件为m∈[2，+∞）．
综上可得m的范围是[0，1]∪[2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化思想，同时考查了学生分析解决问题的能力和计算能力．